A. Teorema Pythagoras
Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”
jika c adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga, a dan b adalah panjang sisi siku-siku. Berdasarkan teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:
c^2 = a^2 + b^2
Dalil pythagoras di atas dapat diturunkan menjadi:
a^2 = c^2 – b^2
b^2 = c^2 – a^2
Catatan : Dalam menentukan persamaan Pythagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa yang berkedudukan sebagai hipotenusa/sisi miring.
Contoh :
Tentukan rumus pythagoras dan turunan dari segitiga yang memiliki panjang sisi miring a dan sisi siku-sikunya b dan c.
Rumus Pythagoras : a^2 = b^2 + c^2
Turunannya : b^2 = a^2 – c^2
c^2 = a^2 – b^2
jika c adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga, a dan b adalah panjang sisi siku-siku. Berdasarkan teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:
c^2 = a^2 + b^2
Dalil pythagoras di atas dapat diturunkan menjadi:
a^2 = c^2 – b^2
b^2 = c^2 – a^2
Catatan : Dalam menentukan persamaan Pythagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa yang berkedudukan sebagai hipotenusa/sisi miring.
Contoh :
Tentukan rumus pythagoras dan turunan dari segitiga yang memiliki panjang sisi miring a dan sisi siku-sikunya b dan c.
Rumus Pythagoras : a^2 = b^2 + c^2
Turunannya : b^2 = a^2 – c^2
c^2 = a^2 – b^2
B. Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku
Contoh :
1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm. Hitunglah panjang BC!
Jawab:
BC^2 = AC^2 + AB^2
BC^2 = 32 + 42
BC^2 = 9 + 16
BC^2 = 25
BC = 5 cm
2. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x.
AC^2 = AB^2 + BC^2
20^2 = (4x)^2 + (3x)^2
400 = 16x2 + 9x2
400 = 25x2
16 = x2
8 = x
3. Sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari jarak semula.
jawab:
OU^2 = OB^2 + UB^2
OU^2 = 80^2 + 60^2
OU^2 = 6.400 + 3.600
OU^2 = 10.000
OU = 100 km
1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm. Hitunglah panjang BC!
Jawab:
BC^2 = AC^2 + AB^2
BC^2 = 32 + 42
BC^2 = 9 + 16
BC^2 = 25
BC = 5 cm
2. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x.
AC^2 = AB^2 + BC^2
20^2 = (4x)^2 + (3x)^2
400 = 16x2 + 9x2
400 = 25x2
16 = x2
8 = x
3. Sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari jarak semula.
jawab:
OU^2 = OB^2 + UB^2
OU^2 = 80^2 + 60^2
OU^2 = 6.400 + 3.600
OU^2 = 10.000
OU = 100 km
C. Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya dan Triple Pythagoras
1. Kebalikan Dalil Pythagoras
Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut A siku-siku maka berlaku a2= b2 + c2.
Dalam ABC, apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, c adalah sisi sihadapan sudut C, maka berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu:
Jika a^2 = b^2 + c^2 maka ABC siku-siku di A.
Jika b^2 = a^2 + c^2 maka ABC siku-siku di B.
Jika c^2 = a^2 + b^2 maka ABC siku-siku di C.
Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.
Jika a^2 = b^2 + c^2 maka ABC adalah segitiga siku-siku.
Jika a^2 > b^2 + c^2 maka ABC adalah segitiga tumpul.
Jika a^2 < b^2 + c^2 maka ABC adalah segitiga lancip.
Contoh :
Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi
1. 5 cm, 7 cm dan 8 cm.
Jawab: sisi terpanjang adalah 8 cm, maka a= 8 cm, b = 7cm dan c = 5 cm
a^2 = 82 = 64
b^2 + c^2 = 72 + 52
b^2 + c^2 = 49 + 25
b^2 + c^2 = 74
karena a^2 < b^2 + c^2, maka segitiga tersebut adalah segitiga lanci
2. 8cm, 7cm dan 12 cm
Jawab: sisi terpanjang adalah 12 cm, maka a= 12 cm, b = 7cm dan c = 8 cm
a^2 = 122 = 144
b^2 + c^2 = 72 + 82
b^2 + c^2 = 49 + 64
b^2 + c^2 = 113
karena a^2 > b^2 + c^2, maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul
2. Triple Pythagoras
Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.”
Contoh :
3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 52 = 42 + 32
Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut A siku-siku maka berlaku a2= b2 + c2.
Dalam ABC, apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, c adalah sisi sihadapan sudut C, maka berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu:
Jika a^2 = b^2 + c^2 maka ABC siku-siku di A.
Jika b^2 = a^2 + c^2 maka ABC siku-siku di B.
Jika c^2 = a^2 + b^2 maka ABC siku-siku di C.
Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.
Jika a^2 = b^2 + c^2 maka ABC adalah segitiga siku-siku.
Jika a^2 > b^2 + c^2 maka ABC adalah segitiga tumpul.
Jika a^2 < b^2 + c^2 maka ABC adalah segitiga lancip.
Contoh :
Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi
1. 5 cm, 7 cm dan 8 cm.
Jawab: sisi terpanjang adalah 8 cm, maka a= 8 cm, b = 7cm dan c = 5 cm
a^2 = 82 = 64
b^2 + c^2 = 72 + 52
b^2 + c^2 = 49 + 25
b^2 + c^2 = 74
karena a^2 < b^2 + c^2, maka segitiga tersebut adalah segitiga lanci
2. 8cm, 7cm dan 12 cm
Jawab: sisi terpanjang adalah 12 cm, maka a= 12 cm, b = 7cm dan c = 8 cm
a^2 = 122 = 144
b^2 + c^2 = 72 + 82
b^2 + c^2 = 49 + 64
b^2 + c^2 = 113
karena a^2 > b^2 + c^2, maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul
2. Triple Pythagoras
Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.”
Contoh :
3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 52 = 42 + 32